ادامه حل تمرین صفحه 22 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 11 صفحه 23 ریاضی دوازدهم برای رسم نمودار توابع در بازه $[-\pi, \pi]$، از تبدیلات نمودار تابع مادر $y = \sin x$ استفاده می‌کنیم. ### الف) نمودار $y = -\sin x - 1$ این تابع از سه تبدیل بر روی $y = \sin x$ به دست می‌آید: 1. **قرینه‌سازی عمودی:** $\mathbf{y = -\sin x}$ (قرینه نسبت به محور $x$). 2. **انتقال عمودی:** $\mathbf{y = -\sin x - 1}$ (انتقال ۱ واحد به **پایین**). * **برد (Range):** برد تابع $y = \sin x$، $[ -1, 1 ]$ است. برد $y = -\sin x - 1$ با ضرب در $-1$ (تبدیل به $[ -1, 1 ]$) و سپس کسر $1$ به دست می‌آید: $[ -1 - 1, 1 - 1 ] = \mathbf{[ -2, 0 ]}$. * **نقاط مهم:** * $x=0 \implies y = -\sin(0) - 1 = -1$. * $x=\frac{\pi}{2} \implies y = -\sin(\frac{\pi}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2$ (کمینه). * $x=-\frac{\pi}{2} \implies y = -\sin(-\frac{\pi}{2}) - 1 = -(-1) - 1 = 0$ (بیشینه). --- ### ب) نمودار $y = 2\sin (\frac{1}{3}x)$ این تابع از دو تبدیل بر روی $y = \sin x$ به دست می‌آید: 1. **کشش عمودی:** $\mathbf{y = 2\sin x}$ (دامنه نوسان ۲ برابر می‌شود). 2. **کشش افقی:** $\mathbf{y = \sin (\frac{1}{3}x)}$ (دوره تناوب ۳ برابر می‌شود. $T = \frac{2\pi}{|1/3|} = 6\pi$). * **برد (Range):** برد تابع $y = 2\sin(\frac{1}{3}x)$ برابر با $[ -|2|, |2| ] = \mathbf{[ -2, 2 ]}$. * **دوره تناوب:** $T = 6\pi$. در بازه رسم $[-\pi, \pi]$ (به طول $2\pi$)، تنها یک‌سوم سیکل کامل رسم می‌شود. * **نقاط مهم:** * $x=0 \implies y = 2\sin(0) = 0$. * $x=\pi \implies y = 2\sin(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} \approx 1.73$. * $x=-\pi \implies y = 2\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \approx -1.73$. * نقطه بیشینه در $x = \frac{3\pi}{2} \notin [-\pi, \pi]$ است. **خلاصه رسم:** * **$y = -\sin x - 1$:** نموداری که بین $y=-2$ و $y=0$ نوسان می‌کند و از $(0, -1)$ می‌گذرد. * **$y = 2\sin (\frac{1}{3}x)$:** نموداری کشیده شده در جهت عمودی و افقی که از $(0, 0)$ می‌گذرد و در $x=\pi$ به مقدار $\approx 1.73$ می‌رسد.

حل تمرین 12 صفحه 23 ریاضی دوازدهم تابع اصلی $f(x)$ از نقاط $(-4, -2)$, $(-1, 2)$, $(2, 2)$, $(4, 0)$ می‌گذرد. ### الف) $y = \frac{1}{2} f(2x) - 1$ این تابع از سه تبدیل تشکیل شده است: 1. **انقباض افقی:** $2x$ (طول نمودار نصف می‌شود). $x \to x/2$. 2. **انقباض عمودی:** $\frac{1}{2} f$ (ارتفاع نمودار نصف می‌شود). $y \to y/2$. 3. **انتقال عمودی:** $-1$ (نمودار ۱ واحد به پایین منتقل می‌شود). $y \to y - 1$. $$\text{تبدیل نقاط: } (x, y) \to (\frac{x}{2}, \frac{1}{2}y - 1)$$ * $(-4, -2) \to (\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2} - 1) = (-2, -2)$ * $(-1, 2) \to (\frac{-1}{2}, \frac{2}{2} - 1) = (-0.5, 0)$ * $(2, 2) \to (\frac{2}{2}, \frac{2}{2} - 1) = (1, 0)$ * $(4, 0) \to (\frac{4}{2}, \frac{0}{2} - 1) = (2, -1)$ --- ### ب) $y = -f(-x) + 2$ این تابع از سه تبدیل تشکیل شده است: 1. **قرینه‌سازی افقی:** $-x$ (قرینه نسبت به محور $y$). $x \to -x$. 2. **قرینه‌سازی عمودی:** $-f$ (قرینه نسبت به محور $x$). $y \to -y$. 3. **انتقال عمودی:** $+2$ (انتقال ۲ واحد به بالا). $y \to y + 2$. $$\text{تبدیل نقاط: } (x, y) \to (-x, -y + 2)$$ * $(-4, -2) \to (-(-4), -(-2) + 2) = (4, 4)$ * $(-1, 2) \to (-(-1), -(2) + 2) = (1, 0)$ * $(2, 2) \to (-(2), -(2) + 2) = (-2, 0)$ * $(4, 0) \to (-(4), -(0) + 2) = (-4, 2)$ --- ### پ) $y = 2f(x - 1) - 3$ این تابع از سه تبدیل تشکیل شده است: 1. **انتقال افقی:** $x - 1$ (انتقال ۱ واحد به **راست**). $x \to x + 1$. 2. **کشش عمودی:** $2f$ (ارتفاع نمودار ۲ برابر می‌شود). $y \to 2y$. 3. **انتقال عمودی:** $-3$ (انتقال ۳ واحد به پایین). $y \to y - 3$. $$\text{تبدیل نقاط: } (x, y) \to (x + 1, 2y - 3)$$ * $(-4, -2) \to (-4 + 1, 2(-2) - 3) = (-3, -7)$ * $(-1, 2) \to (-1 + 1, 2(2) - 3) = (0, 1)$ * $(2, 2) \to (2 + 1, 2(2) - 3) = (3, 1)$ * $(4, 0) \to (4 + 1, 2(0) - 3) = (5, -3)$ --- ### ت) $y = 2f(\frac{1}{4}x)$ این تابع از دو تبدیل تشکیل شده است: 1. **کشش افقی:** $\frac{1}{4}x$ (طول نمودار ۴ برابر می‌شود). $x \to 4x$. 2. **کشش عمودی:** $2f$ (ارتفاع نمودار ۲ برابر می‌شود). $y \to 2y$. $$\text{تبدیل نقاط: } (x, y) \to (4x, 2y)$$ * $(-4, -2) \to (4(-4), 2(-2)) = (-16, -4)$ * $(-1, 2) \to (4(-1), 2(2)) = (-4, 4)$ * $(2, 2) \to (4(2), 2(2)) = (8, 4)$ * $(4, 0) \to (4(4), 2(0)) = (16, 0)$